Blog de Jorge Machín

La estadística es una de las ciencias que me ha sido de mucha utilidad desde la escuela y ahora en mi vida laboral. Me ha ayudado a presentar a mis clientes datos, ideas y proyectos de forma profesional y ordenada. Me abrió la mente a recolectar todos los datos posibles cuando quiero entender un fenómeno y plantear mis hipótesis y experimentos como lo marca el metódo científico.

Los técnicas de regresión y pronósticos me han ayudado a prepararme al futuro con datos de hoy, detectar tendencias a tiempo e incluso cuando he sufrido perdidas accidentales de datos, los he podido recuperar usando interpolaciones. Lo mejor, es que muchas de sus matemáticas y conceptos son en realidad muy sencillos; pero hay que tener cuidado de no caer en la trampa de manipular los datos a nuestra conveniencia. Pero bueno, en este post sólo las primeras fórmulas y definiciones:

Medidas de tendencia central

Media aritmética

Es el promedio de las mediciones.

Se utiliza una letra, por lo general la letra y, con una línea arriba de ella si nos referimos a la media de una muestra. Si estamos hablando de la media de la población, entonces se usa la letra .

Mediana

Es el numero central de un conjunto de n determinaciones.

	Si n es nón
	Si n es par

Moda

Es el valor que ocurre con mayor frecuencia.

Medidas de variación

Intervalo

Es la diferencia entre el valor más alto y el menor de nuestra muestra.

Varianza y desviación estándar

La varianza de una muestra es una medida para saber que tan dispersos están nuestros datos. Se define como:

o bien

Si se trata de la población la fórmula es:

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

Similarmente para la población:

Empíricamente se puede utilizar las siguientes reglas si tenemos una distribución con "joroba":

- El 68% de las determinaciones caen dentro de la primera desviación estándar de la media.
- El 95% de las determinaciones caen dentro de la segunda desviación estándar de la media.

Es recomendable primero gráficar los datos antes de hechar números para "ver" como esta nuestra información.

Cuando era niño, programaba juegos en mi compú donde todo vivía en un mundo de dos dimensiones. No estaba tan mal porque las gráficas en ese entonces eran muy sencillas. De hecho, una nave espacial solía ser un aburrido cuadro rojo. Sin embargo, conforme fuí aprendiendo física, me fue necesario construir un mundo tridimensional, no sólo para hacer juegos, sino también para hacer mis cálculos y simulaciones.

Antes de consultar libros sobre el tema, intenté resolver el problema por mi cuenta. Yo lo visualizaba como convertir un espacio 3D (el mundo) a un espacio 2D (la pantalla). La manera más sencilla que se me ocurrió fue simplemente proyectar todos los puntos a una pared imaginaria en frente de mí. Las proyecciones podían ser de forma recta ignorando simplemente el eje Z; pero así no es muy atractivo porque no se crea la sensación de perspectiva. Es mejor proyectar con un ángulo imaginando que es el ángulo de visión del ojo. Mi primera representación (aplanada) fue esta:

Diagrama 1

Nuestro observador esta en el origen y mirando hacia Z, P es el punto que queremos proyectar, X es el punto proyectado y d es la distancia a nuestra pantalla imaginaria.

Ahora, ni modo, a hacer álgebra. Por triángulos semejantes tenemos:

Haciendo un lado los pasos engorosos, despejamos Xp:

Por analogía, encontramos Yp:

De las dos ecuaciones anteriores, es fácil deducir que d es matemáticamente un factor de escala y que al usar estas ecuaciones, los objetos se ven más grandes conforme se acercan al observador y reducen su tamaño al alejarse; sin importar si nuestros puntos se encuentran antes o después del punto d.

Pero no hemos terminado; nuestra pantalla hasta ahora esta en "coordenadas mundiales" las cuales no tienen porque concordar con las coordenadas de nuestra pantalla. De hecho, las coordenadas de nuestra pantalla son siempre positivas y el origen esta en la esquina superior izquierda. Es necesario hacer la transformación de coordenadas mundiales a coordenadas de la pantalla.

Diagrama 2

Con un poco de observación, se puede encontrar el factor de conversión para el eje x:

En la mayoría de los casos se puede suponer para Sxmin un valor de cero:

Si queremos manejar la pantalla mostrando 4 cuadrantes, entonces :

De forma similar para el caso del eje y:

De igual forma, se puede suponer para Symin un valor de cero:

Para acomodar en cuatro cuadrantes, :

Conclusiones:

Ya con esto podemos armar una ciudad de casas de cerrillos con fórmulas con operaciones muy sencillas. Incluso corren relativamente rápido en las antigüas máquinas de 8 bits:

Aplicando las formulas en una computadora de 0.895 MHz

Las fórmulas presentadas aquí son muy limitadas, pero demuestran lo fácil que puede ser trabajar la tercera dimensión. En posts posteriores se trabajarán más para quitar las restricciones autoimpuestas como que el plano de proyección este únicamente perpendicular el eje Z y que el centro de proyección se encuentre únicamente en el origen.

El tiro parabólico es indispensable para todo juego que maneje balística. Su ecuación en su caso más simple en dos dimensiones la conocemos desde nuestros primeros estudios de física en la secundaria o la preparatoria. Ahora que esta muy de moda los juegos en tres dimensiones es bueno tener a la mano la ecuación parametrizada:

En lo único que cambia es la proyección extra (con un nuevo ángulo) y obviamente la tercera variable espacial. Me fue muy útil para un videojuego de baloncesto.

Una vez que hemos comprobado que se pueden recuperar señales en medios con ruido, la siguiente interrogante a resolver es como podemos transmitir varias señales de forma simultánea en una sola onda. En telecomunicaciones se estudian varias técnicas conocidas con el nombre de modulación para obtener este objetivo. En este post se va explicar la más sencilla de todas: La amplitud modulada o AM.

Amplitud Modulada

Consiste en hacer variar la amplitud de una onda portadora para que cambie con las variaciones de la señal con la información que deseamos transmitir (moduladora). Para ello, al mensaje a transmitir se le multiplica y suma la señal portadora para trasladar el espectro en frecuencias de la señal y así crear canales

Para ilustrar el proceso vamos a utilizar la misma señal moduladora con dos portadoras.

Sea la señal moduladora:

Y las portadoras:

Analizando la señal moduladora y la primera portadora

En la siguiente gráfica podemos observar de manera llana a las dos funciones:

Calculando las transformadas rápidas de Fourier para cada función tenemos el siguiente espectro:

Para crear el canal, como dijimos anteriormente, multiplicamos y sumamos la portadora a nuestra señal moduladora. La gráfica queda así:

Haciendo la transformada de Fourier, nuestro espectro nos queda:

Con su forma característica de espejo.

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No, no sirve para programar sin errores, poner un negocio o para sacarse el melate; pero sí para calcular el pi con bastantes decimales de exactitud:

Debe su nombre a que fue formulada por el matemático inglés John Machin en 1706. Ha sido muy del gusto de los informáticos porque por medio de series convergentes se puede llegar a obtener un buen número de dígitos de exactitud ( Shank calculó 707 cifras) y muchos de ellos usaron versiones modificadas cuando hacían carreritas para ver quien obtenía más dígitos o quien tenía la computadora más potente.

Aún ahora, es una fórmula muy recurrida y tiene mucha importancia en el ámbito didáctico.

¿Pero exactamente cómo aproximo pi?

Bueno, no era el propósito de este post responder esa pregunta, pero como algunos estudiantes de Computación han llegado a esta página buscando la respuesta, supongo que no me queda de otra...

Lo que tienen que hacer es despejar pi y sustituir los arcotangentes con alguna serie como la de Taylor:

x toma los valores de 1/5 y de 1/239 y usando n dependiendo de la aproximación que le quieran dar.