Las notas musicales están matemáticamente relacionadas entre sí y definidas alrededor de una nota central ( nota "la" de la octava central ) de 440 Hz. La fórmula matemática es la siguiente:
f = 2(n-69)/12 × 440 Hz
La variable n, sería la nota midi a la que le queremos calcular su frecuencia. Un programa (no muy eficiente) en C++ para obtener las frecuencias de las notas MIDI es el siguiente:
- Que esta fórmula sea en base dos es una característica muy interesante y conveniente para las computadoras y las personas que las usan; pues es el sistema binario su lingua franca.
- La audición entre los humanos suele estar entre las frecuencias de 20 Hz y 20.000 Hz por lo que algunas notas de las octavas inferiores no son audibles.
Cuando estudiaba en la secundaria, me empezaron a enseñar álgebra y trigonometría. Era feliz porque estaba seguro de que con esos conocimientos ya podría representar la realidad en mi recién comprada computadora: podía hacer caer y rebotar una pelota (cuadrada) en la pantalla. También con esos conocimientros seguramente sería capaz de resolver varios problemas de la vida real y fácilmente me podrían dar trabajo.
De un libro, con las formulas del seno y el coseno aprendí a dibujar un reloj analógico y al poco tiempo mis naves espaciales podían hacer no sólo movimientos rectos sino ahora circulares.
Reloj de un libro de Geoff Phillips
Pero al saber que las computadoras manejaban sus numeros en representaciones binarias, me surgió la duda de cómo le hacian para calcular esas funciones trigonométricas. Normalmente, cuando yo no usaba la calcualdora, obtenía los valores del seno y el coseno con unas tablas...
Incluso a mis 13 años, era evidente para mí que la computadora no tenía las tablas capturas; porque los resultados los daba razonablemente exactos sin importar los decimales que pusiera como ángulo. Mi maestro de matemáticas resolvió mi duda diciendo que se aproximaban con series infinitas y me dio los ejemplos de mis funciones favoritas con una leve explicación que finalizó comentando que cuando fuera "grande" las iba poder calcular por mi cuenta... ¡claro!, si seguía estudiando matemáticas.
En esos momentos no me imaginaba que dentro de esas series misteriosas, había mucha teoría atrás de como abstraemos al mundo con nuestras herramientas en papel, en la computadora e incluso en nuestra mente. No sospechaba que el universo era más complejo de lo que pensaba y que las herramientas que conocía en la secundaria no eran nada aún.
Inevitablemente, tenía que cruzar algunas barreras para entender muchos de los conceptos abstractos y locos que envuelven a nuestro universo ( como que pueden caber espacios infinitos en lugares finitos, por citar el más trillado) pero también surgiría la semilla de la duda de que tanto podemos manejar esa complejidad y hasta que nivel la podemos representar.
Pero fue ahí, con esa pregunta inocente, donde se creó esa barrera que esperó pacientemente a que estudiara más, de la misma forma que lo hizo antes la barrera del álgebra y la trigonometría. Mi maestro de matemáticas tenía mucha razón... tuvo que pasar algo de tiempo.
La estadística es una de las ciencias que me ha sido de mucha utilidad desde la escuela y ahora en mi vida laboral. Me ha ayudado a presentar a mis clientes datos, ideas y proyectos de forma profesional y ordenada. Me abrió la mente a recolectar todos los datos posibles cuando quiero entender un fenómeno y plantear mis hipótesis y experimentos como lo marca el metódo científico.
Los técnicas de regresión y pronósticos me han ayudado a prepararme al futuro con datos de hoy, detectar tendencias a tiempo e incluso cuando he sufrido perdidas accidentales de datos, los he podido recuperar usando interpolaciones. Lo mejor, es que muchas de sus matemáticas y conceptos son en realidad muy sencillos; pero hay que tener cuidado de no caer en la trampa de manipular los datos a nuestra conveniencia. Pero bueno, en este post sólo las primeras fórmulas y definiciones:
Medidas de tendencia central
Media aritmética
Es el promedio de las mediciones.
Se utiliza una letra, por lo general la letra y, con una línea arriba de ella si nos referimos a la media de una muestra. Si estamos hablando de la media de la población, entonces se usa la letra .
Mediana
Es el numero central de un conjunto de n determinaciones.
Si n es nón
Si n es par
Moda
Es el valor que ocurre con mayor frecuencia.
Medidas de variación
Intervalo
Es la diferencia entre el valor más alto y el menor de nuestra muestra.
Varianza y desviación estándar
La varianza de una muestra es una medida para saber que tan dispersos están nuestros datos. Se define como:
o bien
Si se trata de la población la fórmula es:
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:
Similarmente para la población:
Empíricamente se puede utilizar las siguientes reglas si tenemos una distribución con "joroba":
- El 68% de las determinaciones caen dentro de la primera desviación estándar de la media.
- El 95% de las determinaciones caen dentro de la segunda desviación estándar de la media.
Es recomendable primero gráficar los datos antes de hechar números para "ver" como esta nuestra información.
Cuando era niño, programaba juegos en mi compú donde todo vivía en un mundo de dos dimensiones. No estaba tan mal porque las gráficas en ese entonces eran muy sencillas. De hecho, una nave espacial solía ser un aburrido cuadro rojo. Sin embargo, conforme fuí aprendiendo física, me fue necesario construir un mundo tridimensional, no sólo para hacer juegos, sino también para hacer mis cálculos y simulaciones.
Antes de consultar libros sobre el tema, intenté resolver el problema por mi cuenta. Yo lo visualizaba como convertir un espacio 3D (el mundo) a un espacio 2D (la pantalla). La manera más sencilla que se me ocurrió fue simplemente proyectar todos los puntos a una pared imaginaria en frente de mí. Las proyecciones podían ser de forma recta ignorando simplemente el eje Z; pero así no es muy atractivo porque no se crea la sensación de perspectiva. Es mejor proyectar con un ángulo imaginando que es el ángulo de visión del ojo. Mi primera representación (aplanada) fue esta:
Diagrama 1
Nuestro observador esta en el origen y mirando hacia Z, P es el punto que queremos proyectar, X es el punto proyectado y d es la distancia a nuestra pantalla imaginaria.
Ahora, ni modo, a hacer álgebra. Por triángulos semejantes tenemos:
Haciendo un lado los pasos engorosos, despejamos Xp:
Por analogía, encontramos Yp:
De las dos ecuaciones anteriores, es fácil deducir que d es matemáticamente un factor de escala y que al usar estas ecuaciones, los objetos se ven más grandes conforme se acercan al observador y reducen su tamaño al alejarse; sin importar si nuestros puntos se encuentran antes o después del punto d.
Pero no hemos terminado; nuestra pantalla hasta ahora esta en "coordenadas mundiales" las cuales no tienen porque concordar con las coordenadas de nuestra pantalla. De hecho, las coordenadas de nuestra pantalla son siempre positivas y el origen esta en la esquina superior izquierda. Es necesario hacer la transformación de coordenadas mundiales a coordenadas de la pantalla.
Diagrama 2
Con un poco de observación, se puede encontrar el factor de conversión para el eje x:
En la mayoría de los casos se puede suponer para Sxmin un valor de cero:
Si queremos manejar la pantalla mostrando 4 cuadrantes, entonces :
De forma similar para el caso del eje y:
De igual forma, se puede suponer para Symin un valor de cero:
Para acomodar en cuatro cuadrantes, :
Conclusiones:
Ya con esto podemos armar una ciudad de casas de cerrillos con fórmulas con operaciones muy sencillas. Incluso corren relativamente rápido en las antigüas máquinas de 8 bits:
Aplicando las formulas en una computadora de 0.895 MHz
Las fórmulas presentadas aquí son muy limitadas, pero demuestran lo fácil que puede ser trabajar la tercera dimensión. En posts posteriores se trabajarán más para quitar las restricciones autoimpuestas como que el plano de proyección este únicamente perpendicular el eje Z y que el centro de proyección se encuentre únicamente en el origen.
El tiro parabólico es indispensable para todo juego que maneje balística. Su ecuación en su caso más simple en dos dimensiones la conocemos desde nuestros primeros estudios de física en la secundaria o la preparatoria. Ahora que esta muy de moda los juegos en tres dimensiones, es bueno tener a la mano la ecuación parametrizada:
Donde v es la velocidad.
En realidad, en lo único que cambia con respecto a la ecuación de dos dimensiones, es la proyección extra (con un nuevo ángulo) y obviamente la tercera variable espacial. Me fue muy útil para un videojuego de baloncesto.
.![m = y_{[(n+1)/2]}](http://www.machin.com.mx/wp-content/cache/tex_9cb12eb522642762343db2b1405d25f7.gif)
![m = frac{y_{[n/2]}+y_{[n/2+1]}}{2}](http://www.machin.com.mx/wp-content/cache/tex_2f158285e26aaebccfab4e0687ce4f64.gif)
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