Blog de Jorge Machín

Formulario de estadística (I)

August 7th, 2008 by Jorge Machin

La estadística es una de las ciencias que me ha sido de mucha utilidad desde la escuela y ahora en mi vida laboral. Me ha ayudado a presentar a mis clientes datos, ideas y proyectos de forma profesional y ordenada. Me abrió la mente a recolectar todos los datos posibles cuando quiero entender un fenómeno y plantear mis hipótesis y experimentos como lo marca el metódo científico.

Los técnicas de regresión y pronósticos me han ayudado a prepararme al futuro con datos de hoy, detectar tendencias a tiempo e incluso cuando he sufrido perdidas accidentales de datos, los he podido recuperar usando interpolaciones. Lo mejor, es que muchas de sus matemáticas y conceptos son en realidad muy sencillos; pero hay que tener cuidado de no caer en la trampa de manipular los datos a nuestra conveniencia. Pero bueno, en este post sólo las primeras fórmulas y definiciones:

Medidas de tendencia central

Media aritmética

Es el promedio de las mediciones.

$mu = frac { sum_{i=1}^n {y_i}}{n}$

Se utiliza una letra, por lo general la letra y, con una línea arriba de ella si nos referimos a la media de una muestra. Si estamos hablando de la media de la población, entonces se usa la letra .

Mediana

Es el numero central de un conjunto de n determinaciones.

$m = y_{[(n+1)/2]}$	Si n es nón
$m = frac{y_{[n/2]}+y_{[n/2+1]}}{2}$	Si n es par

Moda

Es el valor que ocurre con mayor frecuencia.

Medidas de variación

Intervalo

Es la diferencia entre el valor más alto y el menor de nuestra muestra.

Varianza y desviación estándar

La varianza de una muestra es una medida para saber que tan dispersos están nuestros datos. Se define como:

$s^2 = frac{sum _{i = 1}^n {(y_i - bar y)^2 }}{n-1}$

o bien

$s^2 = frac {sum _{i = 1}^n {y_i}^2 - frac{(sum _{i = 1}^n {y_i})^2}{n}}{n-1}$

Si se trata de la población la fórmula es:

$sigma^2 = frac{sum _{i = 1}^n {(y_i - mu )^2 }}{n}$

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

$s = sqrt { s^2 }$

Similarmente para la población:

$sigma = sqrt { sigma^2 }$

Empíricamente se puede utilizar las siguientes reglas si tenemos una distribución con "joroba":

- El 68% de las determinaciones caen dentro de la primera desviación estándar de la media.
- El 95% de las determinaciones caen dentro de la segunda desviación estándar de la media.

Es recomendable primero gráficar los datos antes de hechar números para "ver" como esta nuestra información.

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Formulario de Cinemática

September 6th, 2007 by Jorge Machin

Después de haber colocado el formulario de vectores, el paso obligado es colocar los formularios de Mécanica del Cuerpo Sólido. Pero para empezar, es mejor definir en el primer inciso, las áreas de la física que estudian a los cuerpos en movimiento.

1. Mecánica del cuerpo sólido

La mecánica es una rama de la física que estudia el equilibrio y movimiento de los cuerpos. La parte de la mecánica que estudia los cuerpos en reposo (sin movimiento) se llama estática, mientras que la parte que estudia a los cuerpos en movimiento se le denomina cinemática si no importa las cuasas que lo producen o alteran y dinámica si las toma en cuenta.

2. Posición, velocidad y aceleración

Representamos la posición de un punto P en movimiento a través del tiempo por medio del vector de posición vec r con respecto a un marco de referencia O:

(2.1)

Entonces la tasa de cambio de la posición a través del tiempo o velocidad de P con respecto a O se obtiene derivando:

$ vec v = frac{dvec r }{dt}$

(2.2)

Despejando y usando integrales definidas:

$vec r = vec r_o + int_{t_o}^t vec v dt$

(2.3)

Continuando de (2.2), la aceleración de P con respecto al marco de referencia O en un tiempo t se obtiene con:

$vec a= frac {dvec v}{ dt }$

(2.4)

o bien, en terminos del vector de posición:

$vec a= frac { d^2vec r }{ dt^2 }$

(2.5)

De igual forma de (2.4), despejando a la velocidad usando integrales definidas se tiene:

$vec v = vec v_o + int_{t_o}^t vec a dt$

(2.6)

Finalmente de (2.2) y (2.6), haciendo integración definida se tiene:

$vec r = vec r_o + vec v_o(t-t_o) + int_{t_o}^t int_{t_o}^t vec a dt^2$

(2.7)

Con estas ecuaciones, ya se tiene lo suficiente para analizar cualquier tipo de movimiento.

3. Ejemplo: Aceleración constante en una dimensión

De (2.3) tenemos:

(3.1)

De (2.6) tenemos:

(3.2)

Con la ecuación (3.2) es posible obtener el tiempo en alcanzar una velocidad.

De (2.7) tenemos:

$vec r = vec r_o + vec v_o t + frac {vec a t^2}{2}$

(3.3)

Con la ecuación (3.3) se puede predecir el tiempo en recorrer una distancia, aplicando la fórmula general.

Usando (3.2) y (3.3), se obtiene:

$vec r = vec r_o + frac {vec v + vec v_o }{2} t$

(3.4)

Como se puede ver, muchos problemas básicos de proyectiles se pueden resolver con operaciones simples; incluso sin son de varias dimensiones si se separan en componentes y se aplican como si fueran problemas de una dimensión.

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Formulario de Vectores

June 18th, 2007 by Jorge Machin

Los vectores son una herramienta muy util para representar en cálculos y en la computadora como es nuestra realidad. En este post pongo un breve formulario de algebra vectorial para consulta.