La variable n, sería la nota midi a la que le queremos calcular su frecuencia. Un programa (no muy eficiente) en C++ para obtener las frecuencias de las notas MIDI es el siguiente:

Notas interesantes

- Que esta fórmula sea en base dos es una característica muy interesante y conveniente para las computadoras y las personas que las usan; pues es el sistema binario su lingua franca.

- La audición entre los humanos suele estar entre las frecuencias de 20 Hz y 20.000 Hz por lo que algunas notas de las octavas inferiores no son audibles.

Tabla de notas MIDI y sus frecuencias

Finalmente, la tabla capturada es:

Flujo de Campo

Eléctrico:

Magnético:

Notas:

- El flujo a través de cualquier superficie cerrada que rodea a una carga es Q/Eo ( Ley de Gauss ).

- Si la carga está fuera de la superficie gaussiana, el flujo es cero.

Circulación

Notas:

- La FEM, o circulación de un campo eléctrico estacionario alrededor de un camino arbitrario es nulo.

- Si la circulación es cero, entonces el campo es conservativo.

Ley de Gauss Eléctrica

El flujo eléctrico total a través de una superficie cerrada que encierra las cargas q1,...,qn es:

Ley de Gauss Magnética

Como no existen masas magnéticas ( Al menos no han sido observados ) se tiene:

Ley de Inducción de Faraday

Un campo magnético dependiente del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico:

Si el campo magnético varía a través del tiempo, entonces E no es conservativo porque:

a) Cambia B

b) Se mueve C

c) Se deforma C

Ley de Ampere-Maxwell

La circulación de un campo magnético a lo largo de una línea cerrada que enlaza las corrientes I1, I2, I3 es

De un libro, con las formulas del seno y el coseno aprendí a dibujar un reloj analógico y al poco tiempo mis naves espaciales podían hacer no sólo movimientos rectos sino ahora circulares.

Reloj de un libro de Geoff Phillips

Pero al saber que las computadoras manejaban sus numeros en representaciones binarias, me surgió la duda de cómo le hacian para calcular esas funciones trigonométricas. Normalmente, cuando yo no usaba la calcualdora, obtenía los valores del seno y el coseno con unas tablas...

Incluso a mis 13 años, era evidente para mí que la computadora no tenía las tablas capturas; porque los resultados los daba razonablemente exactos sin importar los decimales que pusiera como ángulo. Mi maestro de matemáticas resolvió mi duda diciendo que se aproximaban con series infinitas y me dio los ejemplos de mis funciones favoritas con una leve explicación que finalizó comentando que cuando fuera "grande" las iba poder calcular por mi cuenta... ¡claro!, si seguía estudiando matemáticas.

En esos momentos no me imaginaba que dentro de esas series misteriosas, había mucha teoría atrás de como abstraemos al mundo con nuestras herramientas en papel, en la computadora e incluso en nuestra mente. No sospechaba que el universo era más complejo de lo que pensaba y que las herramientas que conocía en la secundaria no eran nada aún.

Inevitablemente, tenía que cruzar algunas barreras para entender muchos de los conceptos abstractos y locos que envuelven a nuestro universo ( como que pueden caber espacios infinitos en lugares finitos, por citar el más trillado) pero también surgiría la semilla de la duda de que tanto podemos manejar esa complejidad y hasta que nivel la podemos representar.

Pero fue ahí, con esa pregunta inocente, donde se creó esa barrera que esperó pacientemente a que estudiara más, de la misma forma que lo hizo antes la barrera del álgebra y la trigonometría. Mi maestro de matemáticas tenía mucha razón... tuvo que pasar algo de tiempo.

Ahora que están muy de moda los videojuegos usando el espacio en tres dimensiones es bueno tener a la mano la ecuación parametrizada:

Donde v es la velocidad.

En realidad, en lo único que cambia con respecto a la ecuación de dos dimensiones, es la proyección extra (con un nuevo ángulo) y obviamente la tercera variable espacial. Me fue muy útil para un videojuego de baloncesto.

Amplitud Modulada

Consiste en hacer variar la amplitud de una onda portadora para que cambie con las variaciones de la señal con la información que deseamos transmitir (moduladora). Para ello, al mensaje a transmitir se le multiplica y suma la señal portadora para trasladar el espectro en frecuencias de la señal y así crear canales

Para ilustrar el proceso vamos a utilizar la misma señal moduladora con dos portadoras.

Sea la señal moduladora:

Y las portadoras:

Analizando la señal moduladora y la primera portadora

En la siguiente gráfica podemos observar de manera llana a las dos funciones:

Calculando las transformadas rápidas de Fourier para cada función tenemos el siguiente espectro:

Para crear el canal, como dijimos anteriormente, multiplicamos y sumamos la portadora a nuestra señal moduladora. La gráfica queda así:

Haciendo la transformada de Fourier, nuestro espectro nos queda:

Con su forma característica de espejo.

Mi cariño es porque las FFT me permitieron entender como funcionan muchos aparatos electrónicos como la radio y la televisión. Pero no solamente eso; también me llevaron a entender como funciona nuestra vista, el oido y como el cerebro para reconoce la voz de la chica que uno ama entre un mar de voces cuando estamos disfrutando de una cena romántica en un restaurante concurrido o porque en la tierra podemos recuperar las señales de un satélite que se encuentra a miles o quizás millones de kilometros de distancia a pesar de tener tanto ruido electromagnetico generado por celulares, señales de televisión y radios de taxistas entre otros.

Ejemplo en papel

Vamos a suponer que tenemos una señal conocida a la cual vamos agregar ruido paral aplicarle después un sistema de filtrados basado en el espectro de la señal para limpiarla. Sea nuestra señal arbitraria:

Donde su gráfica y su TTF es la siguiente:

Ahora le agregamos algo de ruido aleatorio que cambia los graficos anteriores a esta forma aparentemente irreconocible:

La señal original no es reconocible con el ruido

Conociendo las gráfícas originales, podemos allanar la parte central de los datos de la FFT usando filtros pasa bajos y pasa altos. Además nadie nos impide emplear filtros de amplitud e incluso hacer uno que otro retoque directo. La gráfica de la FFT de la señal editada de este ejemplo quedó así:

FFT con el ruido filtrado

Después de hacer la transformada inversa, notamos que el filtrado aunque sencillo ha funcionado y prácticamente hemos recuperado la señal original:

Muy parecidas ¿no?

Obviamente el parecido de la señales depende de la cantidad de ruido y lo bien que las podamos filtrar. Aquí el truco es que nos podemos aprovechar de que el formato de la señal generalmente es definido por nosotros, lo cual nos permite explotar las características únicas de nuestras señales para crear filtros muy buenos.

Siendo malicioso, se puede utilizar este metodo para encriptar algún mensaje, pero eso es otro problema que dejamos a la imaginación del lector.

Octave

En realidad no hicé el ejemplo en papel, sino en un programa libre llamado octave. A continuación dejo el script que utilizé para hacer los gráficos de este post:

1. Mecánica del cuerpo sólido

La mecánica es una rama de la física que estudia el equilibrio y movimiento de los cuerpos. La parte de la mecánica que estudia los cuerpos en reposo (sin movimiento) se llama estática, mientras que la parte que estudia a los cuerpos en movimiento se le denomina cinemática si no importa las cuasas que lo producen o alteran y dinámica si las toma en cuenta.

2. Posición, velocidad y aceleración

Representamos la posición de un punto P en movimiento a través del tiempo por medio del vector de posición con respecto a un marco de referencia O:

(2.1)

Entonces la tasa de cambio de la posición a través del tiempo o velocidad de P con respecto a O se obtiene derivando:

(2.2)

Despejando y usando integrales definidas:

(2.3)

Continuando de (2.2), la aceleración de P con respecto al marco de referencia O en un tiempo t se obtiene con:

(2.4)

o bien, en terminos del vector de posición:

(2.5)

De igual forma de (2.4), despejando a la velocidad usando integrales definidas se tiene:

(2.6)

Finalmente de (2.2) y (2.6), haciendo integración definida se tiene:

(2.7)

Con estas ecuaciones, ya se tiene lo suficiente para analizar cualquier tipo de movimiento.

3. Ejemplo: Aceleración constante en una dimensión

De (2.3) tenemos:

(3.1)

De (2.6) tenemos:

(3.2)

Con la ecuación (3.2) es posible obtener el tiempo en alcanzar una velocidad.

De (2.7) tenemos:

(3.3)

Con la ecuación (3.3) se puede predecir el tiempo en recorrer una distancia, aplicando la fórmula general.

Usando (3.2) y (3.3), se obtiene:

(3.4)

Como se puede ver, muchos problemas básicos de proyectiles se pueden resolver con operaciones simples; incluso sin son de varias dimensiones si se separan en componentes y se aplican como si fueran problemas de una dimensión.

1. Magnitud o Norma de un vector

(1.1)

2. Ecuaciones de traslación

Para trasladar un vector al origen, simplemente se resta el punto final con el punto inicial:

(2.1)

Para trasladarlo a un punto P(k,l,m):

(2.2)

3. Vector Unitario

(3.1)

4. Producto interno, euclidiano interior, escalar o punto

Geométricamente, el producto interno, escalar, euclidiano interior o punto está definido por cualquiera de las dos siguientes ecuaciones:

(4.1)

o bien por componentes:

(4.2)

- Algunas de sus propiedades importantes son:

a) ( Propiedad conmutativa )

b)

c)

d) Si , entonces

- Algunas aplicaciones del producto escalar incluyen encontrar:

a) El ángulo entre dos vectores

(4.3)

b) El vector proyección

(4.4)

c) La magnitud de proyección ortogonal sobre

Si no se conoce el ángulo:

(4.5)

o conociendo el ángulo:

(4.6)

5. Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruz da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

(5.1)

o bien

(5.2)

- Algunas de sus propiedades importantes son:

a)

b)

6. Producto escalar triple

Próximamente.

7. Vector gradiente

Próximamente.