Blog de Jorge Machín

Cuando era niño, programaba juegos en mi compú donde todo vivía en un mundo de dos dimensiones. No estaba tan mal porque las gráficas en ese entonces eran muy sencillas. De hecho, una nave espacial solía ser un aburrido cuadro rojo. Sin embargo, conforme fuí aprendiendo física, me fue necesario construir un mundo tridimensional, no sólo para hacer juegos, sino también para hacer mis cálculos y simulaciones.

Antes de consultar libros sobre el tema, intenté resolver el problema por mi cuenta. Yo lo visualizaba como convertir un espacio 3D (el mundo) a un espacio 2D (la pantalla). La manera más sencilla que se me ocurrió fue simplemente proyectar todos los puntos a una pared imaginaria en frente de mí. Las proyecciones podían ser de forma recta ignorando simplemente el eje Z; pero así no es muy atractivo porque no se crea la sensación de perspectiva. Es mejor proyectar con un ángulo imaginando que es el ángulo de visión del ojo. Mi primera representación (aplanada) fue esta:

Diagrama 1

Nuestro observador esta en el origen y mirando hacia Z, P es el punto que queremos proyectar, X es el punto proyectado y d es la distancia a nuestra pantalla imaginaria.

Ahora, ni modo, a hacer álgebra. Por triángulos semejantes tenemos:

Haciendo un lado los pasos engorosos, despejamos Xp:

Por analogía, encontramos Yp:

De las dos ecuaciones anteriores, es fácil deducir que d es matemáticamente un factor de escala y que al usar estas ecuaciones, los objetos se ven más grandes conforme se acercan al observador y reducen su tamaño al alejarse; sin importar si nuestros puntos se encuentran antes o después del punto d.

Pero no hemos terminado; nuestra pantalla hasta ahora esta en "coordenadas mundiales" las cuales no tienen porque concordar con las coordenadas de nuestra pantalla. De hecho, las coordenadas de nuestra pantalla son siempre positivas y el origen esta en la esquina superior izquierda. Es necesario hacer la transformación de coordenadas mundiales a coordenadas de la pantalla.

Diagrama 2

Con un poco de observación, se puede encontrar el factor de conversión para el eje x:

En la mayoría de los casos se puede suponer para Sxmin un valor de cero:

Si queremos manejar la pantalla mostrando 4 cuadrantes, entonces :

De forma similar para el caso del eje y:

De igual forma, se puede suponer para Symin un valor de cero:

Para acomodar en cuatro cuadrantes, :

Conclusiones:

Ya con esto podemos armar una ciudad de casas de cerrillos con fórmulas con operaciones muy sencillas. Incluso corren relativamente rápido en las antigüas máquinas de 8 bits:

Aplicando las formulas en una computadora de 0.895 MHz

Las fórmulas presentadas aquí son muy limitadas, pero demuestran lo fácil que puede ser trabajar la tercera dimensión. En posts posteriores se trabajarán más para quitar las restricciones autoimpuestas como que el plano de proyección este únicamente perpendicular el eje Z y que el centro de proyección se encuentre únicamente en el origen.