Blog de Jorge Machín

Formulario de Vectores

June 18th, 2007 by Jorge Machin

Los vectores son una herramienta muy util para representar en cálculos y en la computadora como es nuestra realidad. En este post pongo un breve formulario de algebra vectorial para consulta.

1. Magnitud o Norma de un vector

$||vec A|| = d =sqrt{({x_2}-{x_1})^2+({y_2}-{y_1})^2+({z_2}-{z_1})^2}$

(1.1)

2. Ecuaciones de traslación

Para trasladar un vector al origen, simplemente se resta el punto final con el punto inicial:

vec P_o = ( x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 )

(2.1)

Para trasladarlo a un punto P(k,l,m):

(2.2)

3. Vector Unitario

$hat U = frac{1}{||vec A||} vec A$

(3.1)

4. Producto interno, euclidiano interior, escalar o punto

Geométricamente, el producto interno, escalar, euclidiano interior o punto está definido por cualquiera de las dos siguientes ecuaciones:

vec U cdot vec V = ||vec U || ||vec V || cos( theta )

(4.1)

o bien por componentes:

vec U cdot vec V = U_1 V_1 + U_2 V_2 + U_3 V_3

(4.2)

- Algunas de sus propiedades importantes son:

a) vec U cdot vec V = vec V cdot vec U ( Propiedad conmutativa )

b) vec U cdot ( vec V + vec W ) = vec U cdot vec V + vec U cdot vec W

c) k ( vec V cdot vec W ) = kvec U cdot vec V = vec U cdot kvec W

d) Si vec U cdot vec V = 0 , entonces vec U perp vec V

- Algunas aplicaciones del producto escalar incluyen encontrar:

a) El ángulo entre dos vectores

$cos( theta ) = frac { vec U cdot vec V } { ||vec U || ||vec V || }$

(4.3)

b) El vector proyección

$vec W_1 = frac {vec U cdot vec V } { ||vec U || } vec U$

(4.4)

c) La magnitud de proyección ortogonal vec U sobre vec V

Si no se conoce el ángulo:

$hat U cdot vec V = frac { vec U cdot vec V } { ||vec U || }$

(4.5)

o conociendo el ángulo:

hat U cdot vec V = || vec V || cos( theta )

(4.6)

5. Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruz da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

vec U times vec V = ( U_2 V_3 - U_3 V_2, U_3 V_1 -U_1 V_3, U_1 V_2 - U_2 V_1 )

(5.1)

o bien

$ vec U times vec V = left|begin{array}{ccc} hat{i} & hat{j} & hat{k} \ U_1 & U_2 & U_3 \ V_1 & V_2 & V_3 end{array}right| $

(5.2)

- Algunas de sus propiedades importantes son:

a) vec U times vec V = - ( vec V times vec U )

b) k ( vec U times vec V ) = k vec U times vec V = vec U times k vec V

6. Producto escalar triple

Próximamente.

7. Vector gradiente

Próximamente.

Posteado en Formularios, Física, Matemáticas, Maxin Lab |

4 Responses

oscar Says:
July 9th, 2008 at 2:30 pm
haber ps si hacen ams formularios ta interesante es xebre las matematicas los formularios tu sbaes facilitan la resolucion de los problemas
Jorge Machin Says:
July 9th, 2008 at 5:18 pm
Oscar:

Así es oscar, yo he ido poniendo estos formularios porque me han servido muchísimo desde que estaba en la escuela y hasta la fecha los consulto de vez en cuando porque soy bastante desmemoriado.

Si el tiempo lo permitíera yo pasaría todos mis apuntes de la universidad con los problemas para repasarlos y no olvidarlos. Quizás poco a poco como hasta ahora.
alejandra lazcano Says:
September 25th, 2008 at 7:11 pm
no entendi nada
Jorge Machin Says:
September 25th, 2008 at 11:25 pm
Alejandra:

Es que no hay mucho que entender, después de todo, es tan sólo un formulario.

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